Не умению считать процент за кредит, а интегралам и производным нас всех учили в школе и на младших курсах институтов. Сейчас уже в школе учат финансовой грамотности, но именно финансовой математике по-прежнему не уделяется должное внимание. Расскажем о том, как рассчитать среднегодовую доходность инвестиций, которые дают неравномерный результат.
Фото: facebook.com
Автор: fingramota.org
Положив деньги в банк на срочный счет, мы заранее знаем о том, какая будет его среднегодовая доходность. Ведь именно она прописана в договоре. Однако в большинстве случаев жизни наши заработки или доходность проектов не бывает одинаковой во времени. Наиболее реалистична такая ситуация:
- Вы купили пакет ценных бумаг за 1 млн рублей 1 января.
- Ровно через 1 год вы увидели, что ваш портфель стоит 1,07 млн рублей.
- Еще через год ваш портфель стал стоить 1,11 млн рублей.
- Еще через год он стал стоить 1,14 млн рублей.
Вам хотелось бы узнать доходность своих инвестиций.
- За первый год вы заработали 0,07 млн рублей или 7% годовых.
- За второй год вы заработали 0,04 млн рублей или 3,74% годовых (0,04/1,07 * 100%).
- За третий год вы заработали 0,03 млн рублей или 2,7% годовых (0,03/1,11 * 100%).
Вы хотите узнать среднюю доходность за 3 года. Простое вычисление среднего арифметического процентов за три года вам даст неверный ответ (4,48%). Здесь нужно использовать формулу сложных процентов. Поясним на самом простом примере.
Вы положили в банк 100 рублей на 2 года под 10% годовых. Сколько будет денег на вашем счете через 2 года?
Давайте считать:
- Через 1 год на счете будет: 100 + 10%*100 = 110 рублей.
- Через 2 года на счете будет: 110 + 10%*110 = 121 рубль.
- Или сразу за два года: 100 * (1+0,1)2 = 121 рубль.
А теперь решим эту детскую задачу наоборот, как нам и нужно.
- За первый год вы заработали 10 рублей, сделав инвестицию в 100 рублей.
- За второй год вы заработали 11 рублей, сделав инвестицию в 110 рублей.
Какова была среднегодовая доходность вашей инвестиции? Т.е. мы должны представить, что не знаем число 10%. Тогда нам нужно решить детскую задачку номер 2.
100 * (1 + Х)2 = 121, где Х – искомая нами среднегодовая доходность инвестиций.
Перенесем все, что с Х в одну сторону, а все без Х – в другую: (1 + Х)2 = 121/100.
Осталось взять квадратный корень из обеих частей уравнения: √(1 + Х)2 = √(121/100).
1 + Х = 11, тогда Х = 10%. Вот мы и нашли искомую среднюю доходность. Но в данном случае мы ее знали заранее, так как она была одинаковой все время инвестиции. Но в реальной жизни инвестора так будет случаться редко. Полученная формула является универсальной и поможет нам во всех случаях. Общая формула выглядит так:
CAGR = ((Конечный размер портфеля) / (Начальный размер портфеля))1/n – 1,
где n – число периодов инвестирования.
Осталось решить наш первый пример:
- Конечный размер портфеля равен 1,14 млн рублей;
- Начальный размер портфеля равен 1,00 млн рублей;
- Число периодов инвестирования равно 3 года.
- CAGR = (1,14/1)1/3 – 1 = 4,464%.
Проверим себя и сделаем прямой расчет. Если мы положим в банк 1 млн рублей под 4,464% годовых на 3 года. Сколько денег будет на нашем счете через 3 года?
1 млн * (1 + 0,04464)3 = 1 139 987,144 рублей. За счет округления размера процента, результат получился на 13 рублей меньше (ведь должно было получиться 1,14 млн рублей), но это уже погрешность вычислений. Но теперь мы знаем ответ на наш вопрос о среднегодовой доходности инвестиций в ценные бумаги. В нашем случае она оказалась равной 4,464% годовых. Заметим, что эта величина меньше среднеарифметического (4,48%), так как срабатывает эффект сложных процентов.
Учимся финансовой математике и будем здоровы!
---
Телеграм-канал «Финграмота / Fingramota.org» - https://t-do.ru/fingramota_org
